随机过程的概率学基本
一些基础符号
- \(\Omega\)：样本空间
- \(A\)：样本空间中的一些元素组成的子集
- \(\mathcal{F}\): \(A\) 所组成的集合
举个例子：假设我们有一台每投入三块钱随机产出一杯咖啡、红茶或者热巧克力的自动咖啡机。这里的 \(\Omega = \{咖啡，红茶，热巧克力\}\)。\(A\) 可以是，比如说，\(\{咖啡\}\)或者\(\{红茶\}\)，也可以是\(\{咖啡，红茶\}\)。
如果以上是 \(A\) 的值，那么 \(\mathcal{F}=\{\{咖啡\}, \{红茶\}, \{咖啡，红茶\}\}\).
\(\sigma\)函数
先上书中定义。
对于 \(\mathcal{F}\)，如果\(\mathcal{F}\)具有以下性质，那就称 \(\mathcal{F}\) 为一个\(\sigma\)函数：
- \(\Omega \in \mathcal{F}\)
- 若 \(A\in \mathcal{F}\)，则\(\bar{A} = \Omega-A\in \mathcal{F}\)
- 若 \(A_n\in \mathcal{F}\)，\(n\in N^*\)，则 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{F}\)
博主注：根据 \(\Omega\)、\(A\) 和 \(\mathcal{F}\) 的定义，1、2、3 可互相推导。
概率与概率空间
继续先上书中定义：
定义在 \(\sigma\)代数 \(\mathcal{F}\) 上的集函数 \(P\) 称为概率。
集函数的定义
把一个集定义到具体的数的函数为集函数
概率空间
如果 \(P\) 满足以下条件：
- 对于任意 \(A\in \mathcal{F}\)，有 \(P(A)\ge 0\)
- \(P(\Omega)=1\)
- 若 \(A_n\in \mathcal{F}\)，\(n\in N^*\)，\(A_nA_m = \varnothing\)，\(n\neq m\)，则 \(P(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)\)
我们称三元的总体 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 为概率空间。其中：
- \(\omega\) 为基本事件
- \(\Omega\) 为基本事件空间
- \(\mathcal{F}\) 中的集 \(A\) 为事件
- \(P(A)\) 为 \(A\) 的概率
博主注：条件1-3都是比较基本的概率概念，翻译一下：
- 对于任何一个事件，这个事件的概率不能小于零
- 一整个样本空间（也就是基本事件空间，即所有可能情况的集合）的概率为1
- 对于同一个概率空间中两两不相交的事件，这样的事件组成的集合的概率等于所有这样的事件的概率的和。