最长上升子序列 II

最长上升子序列 II

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1 ≤ N ≤100000
-10^9 ≤ 数列中的数 ≤ 10^9

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

算法1

(DP) O(n^2)

动态规划状态转移

时间复杂度

O(n^2)，数据范围10^5会TLE

空间复杂度

dont know

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);

    a[0] = - 1e9;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 0; j < i; j ++)
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    int res = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);

    cout << res;

    return 0;
}

算法2

(利用单调栈的思路优化) O(nlogn)

贪心思路：较小的数作为的子序列结尾 比 较大的数子序列的结尾 更好
q[i]存的是长度为i的上升子序列的第i位的值。
枚举时查看当前元素a[i]能够插入到哪个子序列的末尾，根据贪心想法插入的一定是子序列结尾元素q[i]严格小于当前元素a[i]的子序列。

时间复杂度

二分logn,枚举n 时间复杂度nlogn

空间复杂度

dont know

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N], q[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    int len = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int l = 0, r = len;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if(q[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        len = max(len, r + 1);
        q[r + 1] = a[i];
    }
    
    cout << len;
    return 0;
}

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